¿Que Conjunto tiene más elementos?

[Ainchtain]

¿Que conjunto tiene más elementos?




¿El Conjunto de los Números Naturales
o el de los Números Racionales?

Estoy seguro que si les digo:

Oiga, sabe que??? Los Números Naturales tienen tantos elementos como los Números Racionales, lo mas probable es que piensen que soy un wn demente, que habla estupideces y ve mucha tele

de hecho, si hace un tiempo atrás hubiese venido un personaje, y me dice eso como si fuera lo mas normal. Probablemente le hubiera mandao a la cresta por ser un rancio ql :tonto:



Pero bueno, aqui estoy haciendo el papel del wn rancio que dice que los Números Racionales tienen tantos elementos como los Números Naturales, y para no pasar por demente, tengo que dar buenas razones para mostrar que mi afirmación es correcta.


Antes de iniciar con la explicación, y para que todo el mundo pueda entender lo que digo, es necesario tener claro algunos conceptos

Conceptos Previos

1. Conjuntos: Se entiende INTUITIVAMENTE como una coleccion de elementos, se acostumbran a denutar con letras mayusculas A, B, C, D, blah blah blah.
   
   
2. Cardinalidad: Es el número que representa la cantidad de elementos de un conjunto. Si el conjunto A tiene 666 elementos, se denotará como: #(A)=666
   
   
3. Función: Es una ley de correspondencia que a cada elemento de un conjunto (Dominio) lo asocia con un único elemento de otro conjunto (Recorrido), se acostumbran a denotar con letras minúsculas, f,g,h, blah blah blah...
   
   las funciones se clasifican en 3 grupos.

• Funciones Inyectivas: Es Aquella función en la que cada elementos del Recorrido, ah sido asociado a un único elemento del Dominio, o en otras palabras, dos elementos distintos del Dominio no pueden estar asociados al mismo elemento del Recorrido, aunque si puede ocurrir que un elemento del Recorrido no haya sido asociado a uno del Dominio, por ejemplo:

OBSERVACIÓN:

Llamemos A al conjunto Dominio y B al recorrido. SI existe una función Inyectiva que a cada elemento de A le asocia un elemento de B, La cantidad de elementos de A es menor o igual a los de B, es decir:

• Funciones Sobreyectivas: Una funcion es Sobreyectiva cuando TODOS los elementos del Recorrido han sido asociados con a lo menos un elemento del Dominio, como se muestra en la siguiente ilustracion:

OBSERVACION:

Llamemos A al conjunto Dominio y B al recorrido. SI existe una función Sobreyectiva que a cada elemento de A le asocia un elemento de B, La cantidad de elementos de A es mayor o igual a los de B, es decir:

• Funciones Biyectivas: Una Función es Biyectiva si es Inyectiva y Sobreyectiva a la vez, es decir, Todos los elementos del Recorrido son asociados con un único elemento del dominio y todos los elementos del dominio son asociados con un elemento del recorrido.
  
  Para quedar mas claros, una ilustración:

OBSERVACIÓN:

Llamemos A al conjunto Dominio y B al recorrido. SI existe una función Biyectiva que a cada elemento de A le asocia un elemento de B, La cantidad de elementos de A es igual a la de B, es decir:

por si las moscas... :unsure:










Esto no es función!!




qwerty asdf zxcv
:tonto:

Bueno, en este momento damos por sentado que la cantidad de números racionales es mayor que la cantidad de números naturales por simple convicción, pero hablar solo por conviccion no sirve de mucho o si ?

bueno, lo que podemos hacer para mostrar que nuestra convicción es cierta es mostrar una función inyectiva; que a cada numero natural le asocie un numero racional para decir que, verdaderamente y sin lugar a dudas que #(IN) es menor o igual que #(Q).

la funcion inyectiva podría ser:

f: IN -----------> Q
(lease: la función f, que a cada elemento de IN le asocia un elemento de Q)

f(n) = n/(n+1)

esta función es claramente inyectiva, por lo que queda inmediatamente demostrada la desigualdad

Ahora, a través de un esquema, mostraré una función sobreyectiva que va de IN sobre Q

siguiendo la flechita verde, los valores se irian asignando de la siguiente manera

IN_____ Q
1 ------> 1
2 ------> 1/2
3------> 2
4------>3
5------>2/3 = 1
6------>1/3
7------>1/4
8------>2/3
9------>3/2
10----->4
11----->4/2 = 2
.
.
.

Como se puede notar, si tomamos los infinitos elementos de IN, terminaremos por cubrir todos los elementos de Q, incluso repitiendo elementos. Por lo que gracias a este ejemplo, es claro que vale la siguiente desigualdad:

Luego, como se tiene que

y

por lo tanto, la única posibilidad que queda es que

Con lo que se concluye que el conjunto de números racionales y naturales tienen la misma cantidad de elementos, y ya no soy un demente ql y weá :shoro:





________________________________________

espero que el tema haya logrado captar la atención del público y sea de interés
si cometí algún error en la redacción, agradeceré cualquier corrección
dudas preguntas y consultas, son todas bienvenidas ^_^

Saludos!

Edited October 19, 2010 by Kofsoen Sifen

[hyriusen]

mmm... dejaré mi opinión, la cual es similar a la tuya. Se cree que tanto la cantidad de números que hay desde el "1" al "2" es infinita, ya que si uno va haciendo sucesivas divisiones nunca terminará, es decir, primero comenzará por encontrar números enteros, luego fracciones y finalmente números irracionales, y, como los números irracionales no poseen una continuidad (es decir, no poseen un sucesor), uno mismo podría plantearse cualquier otro número irracional y así sucesivamente... las variables son infinitas de números dentro...

 

Esto tiene q ver con el Conjunto de Cantor o no?

 

eso.

 

 

 

Salu2 :sufre maraca sufre:

[Ainchtain]

mmm... dejaré mi opinión, la cual es similar a la tuya. Se cree que tanto la cantidad de números que hay desde el "1" al "2" es infinita, ya que si uno va haciendo sucesivas divisiones nunca terminará, es decir, primero comenzará por encontrar números enteros, luego fracciones y finalmente números irracionales, y, como los números irracionales no poseen una continuidad (es decir, no poseen un sucesor), uno mismo podría plantearse cualquier otro número irracional y así sucesivamente... las variables son infinitas de números dentro...

 

Esto tiene q ver con el Conjunto de Cantor o no?

 

eso.

 

 

 

Salu2 :sufre maraca sufre:

 

de hecho, la cardinalidad es infinita

 

 

 

el menor de todos los cardinales infinitos ( el cardinal de los números naturales ) se conoce por el nombre de Aleph Cero

 

 

este vendría siendo el cardinal del conjunto de los números racionales y naturales por lo que exupuse en el tema.

 

 

para la cardinalidad de los números irracionales y de los reales en general, estaría entrando en territorio pedregoso, porque ahí no me manejo mucho que digamos. Sé que se meten cosas como la hipótesis del continuo y comienzan a pasar cosas raras :blink:

 

si la memoria no me falla, para los irracionales y reales, la cardinalidad seria:

 

 

____________________

 

el conjunto de cantor va muy relacionado con los números racionales mas que con los irracionales, ya que este se obtiene del extraer sucesivamente un tercio de un segmento de recta

 

 

 

 

 

estos bichos infinitos son realmente cuaticos :blink:

[matiastenis]

Buen tema kof, te apoyo para que creen el foro matemático saludos

[Ainchtain]

Buen tema kof, te apoyo para que creen el foro matemático saludos

 

es bueno contar con tu apoyo :banana:

 

voy a postiar este tema en general para ver si logro creár mas interes por parte de la comunidad ^_^

Edited May 23, 2009 by kof

[tavi_link]

te apollo para el for matematico up!

[[A]rami[S]]

pasao a ingenieros y matematikos seria el foro

pero = aveces es bueno ver lo q plantean

 

 

respecto a lo de la cardinalidad de ambos, me apego a tu propuesta

no lo abia pensado pero al verlo a la rapida como lo expones puedes tener razon

apoyemos el foro matematico

 

wen aporte

bye

[yayer]

Yo creo que cualquier estudiante de matematicas o ingeniero tiene bien claro esto...

 

[Ainchtain]

Yo creo que cualquier estudiante de matematicas o ingeniero tiene bien claro esto...

cualquier estudiante de matemáticas si, pero no cualquier estudiante de ingeniería... :cafe:

a menos claro que sea un estudiante de Ingeniería civil matemática

(a esos wns los hacen mierda xD! )

 

conozco mas o menos las mallas de ingeniería (plan común), y están mucho mas orientadas hacia la aplicación, al cálculo y a las ecuaciones diferenciales. lo que sigue depende de la especialidad.

 

y por lo general, cosas como "los conjuntos numerables" y yerbas de ese estilo, carecen de interés en ingenieria (por lo menos en pregrado)

 

la teoria de conjuntos que ven los ingenieros (plan común) es una partícula de la punta del iceberg, esto lo se porque desde hace tiempo que me eh estado metiendo de colao a algunas clases de licenciatura :hide:

 

eh visto muchas weas raras que aun no entiendo pero en mi tiempo libre le hago arto empeño para entender :up:

 

y puta que cuesta la wea :tonto:

Edited May 24, 2009 by kof

[hyriusen]

Estoy completamente de acuerdo con el foro matemático, el problema es que muy poca gente está interesada en estos temas (cosa de mirar el post de Axiomas y Demostraciones Matemáticas que hice)... pero aún asi sería weno hacer uno... (Y con respecto a lo que dijiste, Kof, sobre la resurrección de mi tema... la verdad es q me da paja ya que vi q nadie estaba interesado y me dio paja xD)

 

 

Podríamos unir nuestros temas y hacer un MEGAPOST, o algo así

 

 

 

 

Salu2 :sufre maraca sufre: