Uso de la intersección de intervalos cerrados y encajados

[dudametodica]

No logro entender la razón del uso de la intersección de intervalos cerrados y encajados, en la demostración de no numerabilidad del intervalo unidad. En particular, no logro ver la contradicción. Dado que, hasta donde creo lograr entender, el ámbito de los intervalos cerrados y encajados se restringe exclusivamente al intervalo unidad – y no debería afectar al de los números naturales –. En consecuencia, no veo como, la no pertenencia de ciertos números reales x(k) a una específica intersección I(k), afecta al dominio de la función (números naturales); evitando que un específico número real sea imagen por (f) de algún número natural.

Agradecería cualquier explicación – en particular una de nivel básico –, que fundamentara cada paso de la demostración.

[xeblaggg]

Me parece que es más pedagogica la diagonalización de Cantor para demostrar que los reales son no numerables, pero bueno.

 

Uno prueba esto por contradicción, suponiendo que existe una lista de los número que están entre 0 y 1.

 

La idea consiste en crearse intervalos encajonados y cerrados que vayan sacando de a poquito los número de esta lista. Intuitivamente al final uno saca todos los elementos de la lista.

 

La construcción de dichos intervalos es algo como esto:

-Listar los elementos de [0,1], digamos x_1, x_2, ... , x_n,....

-Tomar J_1 intervalo cerrado de largo 1/3 que no contenga a x_1 (Algunos toman 1/2, pero x_1=1/2 podría dar problemas).

-Si x_2 esta en J_1 entonces realizar el mismo procedimiento, pero esta vez tomando intervalo J_2 de largo 1/3^2 contenido en J_1.

-Si no, avanzar en la lista hasta encontrar un x_n que este en J_1 y tomar subintervalo J_2 de largo 1/3^2.

 

Repetir lo anterior con cada x_n. Notemos que la lista la recorremos en orden creciente del indice n.

 

Cada vez que sacamos un elemento, obtenemos un Intervalo contenido en el anterior y de largo 1/3 del anterior.

 

Para concluir se usa lo siguiente, se llama teorema de intervalos encajonados de Cantor, dice que si tienes intervalos encajonados y que si su largo decrece a 0, entonces la intersección de todos esos intervalos es no vacía y más aún es un único punto.

 

Entonces si intersectas todos los intervalos anteriores obtienes un punto x. Y obviamente x vive en [0,1]. Y por nuestra hipótesis x=x_k para algun elemento de la lista.

 

Aquí es donde se llega a la contradicción, pues si x está en la intersección, entonces es un elemento que vive en todos los J_n, pero dada la forma en que construimos los J_n, en algún momento x_k tiene que haber salido.

 

Si recordamos la construcción de los J_n, comenzamos recorriendo la lista por x_1, luego x_2 y así sucesivamente. Avanzando en los indices de los elementos, podemos llegar hasta x_k que está en algún J_m. En tal momento x debe salir, lo cual es una contradicción a lo obtenido.

 

Otra forma de concluir es decir que tal elemento no está en la lista anteriormente descrita, lo cual nos indica que no podemos numerar todos los elementos de [0,1].

 

La gracia es haber usado el teorema de Cantor para obtener un punto que estaba fuera de la lista de alguna manera y el haber quitado de la lista todos los elementos.

 

saludos