Ayuda con un ejercicio:Conjunto generador de un subespacio

[.::Master::.]

Hola, necesito ayuda tengo un ejercicio que dice:
Considere el espacio vectorial V=P₃(IR), Encuentre un conjunto generador para el siguiente sub-espacio vectorial:

S={p ϵ P₃(IR) : p(x) = p(-x)}

Yo hice esto:
Sea p(x)= ax^3 + bx^2 + cx + d ϵ S, entonces p(x)=p(-x).
Luego p(-x)= -ax^3 + bx^2 - cx + d

Entonces tomo bx^2 + d como p(x) para que p(x)=p(-x)
S={p ϵ P₃(IR) : p(x) = bx^2 + d}

Pero después de eso no se como encontrar el conjunto generador, y tampoco se si lo que hice esta bien.

Tambien tengo otro parecido que es:
T={p ϵ P₃(IR) : p(x) = -p(-x)}
haciendo lo mismo que en el anterior llego a esto T={p ϵ P₃(IR) : p(x) = ax^3 + cx}
Pero de ahí no se como encontrar el conjunto generador.
Espero que puedan ayudarme. Gracias

[xeblaggg]

El conjunto que obtuviste es un conjunto generador, pues te permite escribir los elementos de tu conjunto. Seguramente lo que te estan preguntando es por una base del conjunto, lo cual no es lo mismo que un conjunto generador.

 

Dado un conjunto D, un conjunto generador de D es un subconjunto C de D, tal que si tomo un x en D, entonces de alguna manera voy a poder encontrar una combinacion lineal de elementos de C que me permitan escribir x.

 

Así que en estricto rigor el mismo conjunto D es un conjunto generador.

 

La diferencia entre una base y un conjunto generador, es que en la base se les exige a los elementos ser linealmente independientes.

 

Por ejemplo, en el primer caso tomamos como candidato a {1,x^2} (que es linealmente indep.), vemos que efectivamente S contiene a {1,x^2} y que cada tipo de S se escribe como una combinación lineal de los de {1,x^2}. Por lo que efectivamente {1,x^2} es base, y por lo tanto generador.

 

Cabe destacar que las bases no necesariamente son únicas, pues podriamos haber tomado {1,1+x^2} que tambien genera a S y es lineamente indep.

 

En el otro conjunto ocurre lo mismo, dado que ya tienes un generados {ax^3+bx : a, b reales} es fácil intuir una base de este.

 

saludos.