sobre una función no oscilatoria

[cidehamete]

Amigos de chilecomparte

tengo una duda existencial.....

me dicen que una función integrable en [a,b) es oscilatoria en un punto b si para cualquier intervalo del tipo [a_1, b) \subset [a, b) f cambia de signo......

esa es la definición, pero todav+ia no se como caracterizar una función no oscilatoria... necesito eso para terminar una demostración pero estoy un poco entrampado en ello...

yo pensé que podría darme una partición del intervalo [a,b) tal que en cada subintervalo la función no cambie de signo, pero no estoy segura que esto esté correcto

ayuda!!!!

gracias de antemano

saludos!!! :)

[xeblaggg]

Negando la proposicion uno llega a que una funcion no oscilatoria en un punto b es aquella en que existe un subintervalo [a_1, b) de [a, b) tal que la funcion no cambia de signo, o sea deja de oscilar.

obs 1: En cualquier subintervalo de [a_1, b) se tiene que la función deja de cambiar de signo, o sea podemos suponer que es positiva o negativa.

obs 2: Antes de llegar al punto a_1, o sea en el intervalo [a, a_1) la funcion podria perfectamente seguir cambiando de signo.

 

 

yo pensé que podría darme una partición del intervalo [a,b) tal que en cada subintervalo la función no cambie de signo, pero no estoy segura que esto esté correcto

 

Esto solo lo puedes hacer solo si b es el único punto oscilatorio de la funcion en dicho intervalo. Por ejemplo la funcion sin(1/x(x-1)) tiene puntos oscilatorios en 0 y 1, ademas es integrable (Lebesgue) en [-1, 1) ya que esta acotada por 1, asi que no podemos tomar particion finita en donde la funcion se mantenga positiva y negativa en ciertos intervalos.

 

Podrias postear el problema para echar una mirada.

[cidehamete]

mira, el problema dice así:

Sea f una función riemann integrable en [a,b) no oscilatoria

demuestre que f es integrable si y solo si f es absolutamente integrable

 

La parte que absolutamente integrable implica integrable es facil, sale en todas partes,

pero es la otra implicancia en general es falsa, pero al agregarle la condición "no oscilatoria" se puede demostrar y es justamente lo que no he podido hacer

......

:(

Edited June 25, 2013 by cidehamete

[xeblaggg]

Tu hipotesis es que existe, o sea toma algún valor finito (positivo o negativo), y además según entiendo la funcion en el intervalo [a,b) tiene un número finito de cambios de signos (por lo que habia dicho en el otro post). Te piden probar que existe, o sea al igual que antes, demostrar que es un valor real.

 

Primero este problema no lo intentaria abordar con sumas sup. e inferiores. Voy a hacer un esquema de demostración.

 

Sea , o sea el conjunto de los x que hace positiva a la función. En estos casos a veces es bueno tener a mano la siguiente función, se puede hacer si ella pero como herramienta nunca esta de más.

 

 

se conoce como la indicatriz del conjunto A. En resumen la funcion indicatriz vale 1 si la funcion f es positiva y 0 si es negativa. Con lo que viene a continuación ya deberiamos estar casi listos para terminar

 

Podemos escribir lo siguiente (y es super facil de probar con la def. de indicatriz, es solo ponerse en los casos)

 

 

usando la linealidad de la integral se obtiene

 

 

por lo que el problema se reduce a probar que las integrales

toman valores finitos.

 

Pero esto es casi gratis ya que la función tiene un numero finito de cambios de signo debido a que no oscila. En efecto dado que la función tiene un numero finito de cambios de signo, entonces se puede escribir union disjunta de intervalos de la forma [a_i, b_i) y en cada uno de ellos la función es positiva. Supongamos que

 

 

repitiendo el argumento de la indicatriz o sea

 

 

 

y cada termino de la suma es positivo, por lo tanto alguno debe tomar valor infinito, usando la siguiente desigualdad

 

 

se obtiene que la función es no acotada, luego contradice que sea Riemann integrable (RI pide funcion acotada). Asi dichas integrales eran finitas y ganamos.

 

Por ahora es lo que se ocurre, demas que hay una forma más facil, cualquier duda consulta no mas. Algunas cosillas que se me quedaron

 

 

 

Algunos usan la siguiente notacion, ya que la que use yo igual se vuelve pesada

 

 

 

Edited June 25, 2013 by xeblaggg

[cidehamete]

buena, me queda muy claro tu argumento

 

yo había pensado en hacer esto:

 

Como la funci\'on es no oscilante, ninguno de los puntos del intervalo $[a,b)$ es de oscilaci\'on por lo que existen puntos $P = \{x_0, x_1, ..., x_n\}$ donde $a = x_0 < x_1 < ... < x_n = b$ tales que $f$ no cambie de signo en $[x_i, x_{i+1})$ con $i \in \{1, 2, ..., n-1\}$
Ahora, analizando la funci\'on en cada subintervalo $[x_i, x_{i+1})$, tenemos que:
a) si $f(x) \geq 0$ para $x \in [x_i, x_{i+1})$ entonces $f(x) = |f(x)|$, luego $\int_{x_i}^{x_{i+1}} |f(x)dx|$ es convergente, pues por por hip\'otesis $\int_a^b f(x)dx$ lo es.
b) si $f(x) \leq 0$ entonces $-f(x) = |f(x)|$, de la misma forma, como $\int_a^b f(x)dx$ es convergente, tambi\'en lo es $-\int_a^b f(x)dx$ y por ello, $\int_a^b |f(x)dx|$ es convergente.

creo que es la misma idea, así que revisaré en detalle lo que me propones....

 

gracias, te pasaste!!! :)

[xeblaggg]

Lo que tu dices es la misma idea, tomar la parte positiva y la negativa y luego evaluarlas, comprobar que son finitas y ganar.

 

Saludos