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Formas de Demostración


Alvaro8913

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Hola Chicos,

 

Les escribo para que me den sus opiniones sobre cómo demostrar, ya que he leido definiciones pero siento que aun no me convence del todo.

 

Mi duda es la siguiente:

 

Cuando demuestro algo (ya sean en propiedades de valor absoluto, axiomas de los reales, estadística, Álgebra lineal etc), lo puedo hacer de la forma que quiera (obviamente siempre que cada paso estén sustentados por teoremas definiciones etc)?

 

De antemano, muchas gracias.

 

 

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Si es que la demostración es convincente y no presenta ninguna paradoja o contradicción, puedes hacerlo de la forma que quieras (contradicción, contrapositivo, etc...).

 

Veamos algunos ejemplos

 

1. Sabemos que el neutro aditivo (el cero, 0) es único, pero esta unicidad no es un axioma como tal, por, ende requiere demostración.

 

Hagamosla por contradicción, o sea, suponiendo que existe otro neutro aditivo distinto al cero.

 

i. Sean 2f60c2f5c08f69913f6dd4b76112362c.png, ambos neutro aditivo, tal que aef6959dc296b5c0e1ef4503751c8294.png.

 

ii. Como ambos son neutro aditivo, tenemos que

 

a90697836ab082e0c1d57abea2447e1a.png

Cada uno actúa como el neutro aditivo del otro.

 

iii. Debido a esto, por transitividad tenemos que 7e85e95e26f22017511e12087e0e1bc2.png, lo que implica una contradicción, porque habíamos supuesto que eran distintos.

 

Por lo tanto, el neutro aditivo es único. (LQQD).

 

 

2. Demostración por inducción.

 

Determinemos la suma de los n primeros naturales, nuestra hipótesis será. 3fbd7db6549d26bde77a3f73c4f20af9.png

 

i. 6d24e2bc97c5e4283dd8e34674afe7ea.png

 

61f732c3b01b371f8553fa763e5c9cb8.png

ii. Ahora, suponemos cierto nuestra hipótesis, o sea

 

3fbd7db6549d26bde77a3f73c4f20af9.png

iii. Ahora debemos demostrar que

 

56e868eaabb7a015b04282f9ac882839.png

Como supusimos cierta nuestra hipótesis, podemos decir que

 

56ef500f12cbc91a7db236f3bed0f5d2.png

242211310b1a3a88a5f37d5b4d437363.png

Por lo que

 

3fbd7db6549d26bde77a3f73c4f20af9.png

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  • 2 weeks later...

Si se trata de aprender un montón de técnicas de demostración, yo siempre recomiendo el libro Lógica y Teoría de Conjuntos de Carlos Ivorra

 

http://www.uv.es/~ivorra/Libros/Logica.pdf

 

 

Otro libro que también es bueno, aunque con un enfoque ligeramente diferente, es A First Course in Logic, de Shawn Hedman, pero está en inglés y no tengo el link en este momento.

 

Con cualquiera de esos dos puedes aprender todo lo importante sobre las demostraciones matemáticas.

Edited by GireBz
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